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Multiplicación y división de números imaginarios

Lección del curso de preparación UNAM. Revisa la explicación, observa el procedimiento y practica con los ejercicios disponibles.

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Multiplicación y división de números imaginarios

Para resolver operaciones con números imaginarios es fundamental recordar:

⚠️ Regla fundamental

i2=−1i^2=-1

Multiplicación de números imaginarios

Para multiplicar números complejos:

  • se aplica la propiedad distributiva,
  • se multiplican todos los términos,
  • y después se sustituye:
i2=−1i^2=-1

Ejemplo resuelto

Resolver:

(2−5i)(4+3i)(2-5i)(4+3i)

Paso 1. Aplicar propiedad distributiva

Multiplicamos cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo:

(2)(4)+(2)(3i)+(−5i)(4)+(−5i)(3i)(2)(4) + (2)(3i) + (-5i)(4) + (-5i)(3i)

Paso 2. Resolver multiplicaciones

8+6i−20i−15i28 + 6i - 20i - 15i^2

Paso 3. Sustituir la regla fundamental

Sabemos que:

i2=−1i^2=-1

Entonces:

8+6i−20i−15(−1)8 + 6i - 20i - 15(-1)

Paso 4. Resolver operaciones

8+6i−20i+158 + 6i - 20i + 15

Agrupamos términos semejantes.

Parte real

8+15=238+15=23

Parte imaginaria

6i−20i=−14i6i-20i=-14i

Resultado final

23−14i23-14i

División de números imaginarios

En una división de números imaginarios no puede existir un imaginario en el denominador.

Para eliminarlo se utiliza el conjugado.

Ejemplo resuelto

Simplificar:

2−3i3−2i\frac{2-3i}{3-2i}

Paso 1. Multiplicar por el conjugado

El conjugado de:

3−2i3-2i

es:

3+2i3+2i

Multiplicamos numerador y denominador:

(2−3i3−2i)(3+2i3+2i)\left( \frac{2-3i}{3-2i} \right) \left( \frac{3+2i}{3+2i} \right)

Paso 2. Resolver multiplicación del numerador

Aplicamos distributiva:

(2−3i)(3+2i)(2-3i)(3+2i)

Desarrollamos:

(2)(3)+(2)(2i)+(−3i)(3)+(−3i)(2i)(2)(3) + (2)(2i) + (-3i)(3) + (-3i)(2i)

Paso 3. Resolver multiplicaciones

6+4i−9i−6i26 + 4i - 9i - 6i^2

Agrupamos:

6−5i−6i26 - 5i - 6i^2

Paso 4. Resolver el denominador

Aplicamos producto de conjugados:

(3−2i)(3+2i)=32−(2i)2(3-2i)(3+2i) = 3^2-(2i)^2

Entonces:

9−4i29-4i^2

Paso 5. Sustituir la regla fundamental

Sabemos que:

i2=−1i^2=-1

Entonces:

6−5i−6(−1)9−4(−1)\frac{ 6-5i-6(-1) }{ 9-4(-1) }

Paso 6. Resolver operaciones

Numerador:

6−5i+6=12−5i6-5i+6 = 12-5i

Denominador:

9+4=139+4=13

Entonces:

12−5i13\frac{12-5i}{13}

Paso 7. Separar parte real e imaginaria

1213−5i13\frac{12}{13} - \frac{5i}{13}

Resultado final

1213−5i13\frac{12}{13} - \frac{5i}{13}

Ejercicios

Resuelve la multiplicación:

(3+2i)(4−i)(3+2i)(4-i)

Resuelve la multiplicación:

(5−3i)(2+i)(5-3i)(2+i)

Simplifica:

3+i2−i\frac{3+i}{2-i}

Simplifica:

4−2i1+i\frac{4-2i}{1+i}

Simplifica:

(2+i)2(2+i)^2