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Multiplicación y división de radicales

Lección del curso de preparación UNAM. Revisa la explicación, observa el procedimiento y practica con los ejercicios disponibles.

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Multiplicación y división de radicales

Los radicales pueden:

  • sumarse,
  • restarse,
  • multiplicarse,
  • dividirse,

siguiendo reglas algebraicas específicas.

Multiplicación de radicales

Para multiplicar radicales:

  • cada término del primer paréntesis debe multiplicarse por cada término del segundo paréntesis,
  • y los radicales se multiplican entre sí.

Ejemplo resuelto

Realizar la multiplicación:

(2−7)(3+2)(2-\sqrt{7})(3+\sqrt{2})

Paso 1. Multiplicar todos los términos

Aplicamos propiedad distributiva:

(2)(3)+(2)(2)+(−7)(3)+(−7)(2)(2)(3) + (2)(\sqrt{2}) + (-\sqrt{7})(3) + (-\sqrt{7})(\sqrt{2})

Paso 2. Resolver multiplicaciones

Primer término

(2)(3)=6(2)(3)=6

Segundo término

(2)(2)=22(2)(\sqrt{2})=2\sqrt{2}

Tercer término

(−7)(3)=−37(-\sqrt{7})(3)=-3\sqrt{7}

Cuarto término

(−7)(2)=−14(-\sqrt{7})(\sqrt{2}) = -\sqrt{14}

Paso 3. Escribir resultado final

6+22−37−146 + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{7} - \sqrt{14}

Resultado final

6+22−37−146 + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{7} - \sqrt{14}

División de radicales

Cuando existen radicales en el denominador, es necesario eliminarlos.

Esto se logra multiplicando por el conjugado.

Ejemplo resuelto

Simplificar:

3−32+2\frac{3-\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}}

Paso 1. Multiplicar por el conjugado

El conjugado de:

2+22+\sqrt{2}

es:

2−22-\sqrt{2}

Multiplicamos numerador y denominador:

(3−32+2)(2−22−2)\left( \frac{3-\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}} \right) \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right)

Paso 2. Resolver multiplicación del numerador

Aplicamos distributiva:

(3−3)(2−2)(3-\sqrt{3})(2-\sqrt{2})

Desarrollando:

6−32−23+66 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{6}

Paso 3. Resolver multiplicación del denominador

Usamos:

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Entonces:

(2+2)(2−2)=22−(2)2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 2^2-(\sqrt{2})^2

Paso 4. Resolver potencias

22=42^2=4 (2)2=2(\sqrt{2})^2=2

Entonces:

4−2=24-2=2

Paso 5. Sustituir resultados

6−32−23+62\frac{ 6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{6} }{2}

Resultado final

6−32−23+62\frac{ 6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{6} }{2}

Nota importante

Siempre que se multiplique el denominador por un valor, el numerador también debe multiplicarse por el mismo valor.

Ejercicios

Multiplica y simplifica:

(3+2)(2+5)(3+\sqrt{2})(2+\sqrt{5})

Multiplica y simplifica:

(4−3)(2+6)(4-\sqrt{3})(2+\sqrt{6})

Simplifica racionalizando el denominador:

53\frac{5}{\sqrt{3}}

Simplifica racionalizando el denominador:

23+5\frac{2}{3+\sqrt{5}}

Simplifica racionalizando el denominador:

1+22−3\frac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}