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Leyes de los exponentes

Lección del curso de preparación UNAM. Revisa la explicación, observa el procedimiento y practica con los ejercicios disponibles.

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Leyes de los Exponentes

Las leyes de los exponentes se aplican cuando las bases son iguales.

Propiedades de los exponentes

Multiplicación de potencias

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

División de potencias

aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Potencia de una potencia

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m\cdot n}

Exponente cero

a0=1a^0 = 1

Exponente negativo

a−m=1ama^{-m} = \frac{1}{a^m}

Raíz de una potencia

amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Exponente uno

a1=aa^1 = a

Ejemplo resuelto

Simplificar la siguiente expresión:

((x2x3x5)3(x4xx5x)2)57\sqrt[7]{\left( \frac{(x^2x^3x^5)^3}{(x^4xx^5x)^2} \right)^5}

Paso 1. Simplificar multiplicaciones dentro de paréntesis

Numerador

x2x3x5x^2x^3x^5

Aplicamos:

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Entonces:

x2+3+5=x10x^{2+3+5} = x^{10}

Denominador

x4xx5xx^4xx^5x

Recordando que:

x=x1x = x^1

Entonces:

x4+1+5+1=x11x^{4+1+5+1} = x^{11}

Sustituimos en la expresión original:

((x10)3(x11)2)57\sqrt[7]{ \left( \frac{(x^{10})^3}{(x^{11})^2} \right)^5 }

Paso 2. Resolver potencia de potencias

Aplicamos:

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m\cdot n}

Numerador

(x10)3=x30(x^{10})^3 = x^{30}

Denominador

(x11)2=x22(x^{11})^2 = x^{22}

Sustituimos:

(x30x22)57\sqrt[7]{ \left( \frac{x^{30}}{x^{22}} \right)^5 }

Paso 3. Resolver división de potencias

Aplicamos:

aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Entonces:

x30x22=x30−22=x8\frac{x^{30}}{x^{22}} = x^{30-22} = x^8

Sustituimos:

(x8)57\sqrt[7]{(x^8)^5}

Paso 4. Resolver potencia de potencia

(x8)5=x8⋅5=x40(x^8)^5 = x^{8\cdot5} = x^{40}

Sustituimos:

x407\sqrt[7]{x^{40}}

Paso 5. Resolver la raíz

Aplicamos:

amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Entonces:

x407=x407\sqrt[7]{x^{40}} = x^{\frac{40}{7}}

Resultado final

x407x^{\frac{40}{7}}

Nota

Si el exponente resultara negativo, se aplica:

a−m=1ama^{-m} = \frac{1}{a^m}

Ejercicios

Simplifica la siguiente expresión:

x3⋅x5x^3 \cdot x^5

Simplifica la siguiente expresión:

x9x4\frac{x^9}{x^4}

Simplifica la siguiente expresión:

(x4)3(x^4)^3

Simplifica la siguiente expresión:

x0x^0

Simplifica la siguiente expresión:

x123\sqrt[3]{x^{12}}